译自 数論幾何学 —— リーマン予想からエタール・コホモロジーへ.

算术几何学

斋藤毅

—— 从黎曼猜想到平展上同调

今天我将讨论数论和几何的话题. 在三年级的课程中, 数论被划分到代数, 所以你可能觉得它与处理流形和同调的几何没有关系. 然而, 有趣的是, 这两件事在数学中变成了一体.

1. 黎曼猜想

首先, 从黎曼的 $\zeta$ 函数定义开始. 黎曼的 $\zeta$ 函数被定义为狄利克雷级数.

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} \tag1$$

这在 $s$ 的实部 $>1$ 的范围内绝对收敛, 并确定了 全纯函数. 使用素因数分解的唯一性, 也可以用欧拉积表示它.

$$\zeta(s)=\prod_{p: 素数}\Big(1-\frac1{p^s}\Big)^{-1} \tag2$$

$\zeta(s)$ 可以 解析延拓 为整个复平面上的亚纯函数, 除了 $s=1$ 处的 $1$ 阶极点外, 它是全纯的. 关于 零点, 由于欧拉积在实部 $>1$ 的范围内收敛, 因此可以知道没有零点. 使用这一事实和函数方程, 可以知道在实部 $<0$ 的范围内, 仅在负偶数处有 $1$ 阶零点.

自然数 $n$ 以下的素数个数 $\pi(n)$ 大约是 $\dfrac{n}{\log n}$, 这是素数定理, 它通过证明实部为 $1$ 的零点不存在来证明. 著名的黎曼猜想陈述了实部在 $0$ 和 $1$ 之间的零点的实部都是 $\dfrac12$, 这是一个未解决的问题. 如果这被证明, 我们将能够更精确地了解素数的分布.

2. 代数域与函数域相似性

古典的代数整数论是关于称为代数数域即有理数域的 有限次扩张 的理论. 有限域上的一元有理函数域的有限次扩张称为一元函数域, 但是这些域和代数数域非常相似. 这被称为代数数域和函数域之间的相似性. 在数学中, 通过找到这些相似之处并研究它们的相似之处, 可以更好地了解两者.

Riemann zeta 函数 $(1)$ 可以视为有理数域的 zeta 函数. 这样考虑, 可以定义在有限域上的一元函数域的 zeta 函数. 关于这一点, 已经证明了类似的 Riemann 猜想.

首先, 从有理函数域的情况开始. $p$ 是素数, $\mathbf{F}_p$ 是大小为 $p$ 的有限域. 对于一元多项式环 $A=\mathbf{F}_p[T]$, 它不仅是 主理想整环, 而且 极大理想 $\mathfrak{m}$ 的剩余域 $A/\mathfrak{m}$ 都是有限域, 并且具有与整数环 $\mathbf{Z}$ 非常相似的性质. 使用此方法, 可以将 $A = \mathbf{F}_p[T]$ 的 zeta 函数定义为欧拉乘积 $(2)$

$$\zeta_A(s)=\prod_{\mathfrak{m}: ~ A ~ 的极大理想}\Big(1-\frac1{N\mathfrak{m}^s}\Big)^{-1} \tag3$$

这里, $N\mathfrak{m}$ 是表示有限域 $A/\mathfrak{m}$ 的元素数量的符号.

考虑整数环 $\mathbf{Z}$ 作为 $A$ 并将其应用于 $(3)$, 则可以得到使用欧拉积表示黎曼 $\zeta$ 函数的公式 $(2)$. 将 $A=\mathbf{F}_p[T]$ 还原为多项式环, 由于 素元分解 的唯一性也成立, 因此可以使用狄利克雷级数表示 $A$ 的 $\zeta$ 函数 $\zeta_A(s)$, 如 $(1)$ 所示.

$A=\mathbf{F}_p[T]$ 的 $\zeta$ 函数 $\zeta_A(s)$ 与黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(s)$ 的一个重要区别是, $\zeta_A(s)$ 是一个简单的函数 $\dfrac1{1-p^{1-s}}$. 由此可知, $\zeta_A(s)$ 在 $s=1+\dfrac{2π\sqrt{-1}}{\log p}$ ($n$ 为整数) 处具有 $1$ 阶极点.

问题 $\bf1$ 对于 $A=\mathbf{F}_p[T]$, 证明 $\zeta_A(s)=\dfrac1{1-p^{1-s}}$.

到目前为止, $A$ 是多项式环 $\mathbf{F}_p[T]$, 如果 $A$ 在整数环 $\mathbf{Z}$ 上 有限生成, 则对于任何交换环, 都可以使用 $(3)$ 定义其 $\zeta$ 函数. 在这里, 我们使用可交换环的定理, 即整数环 $\mathbf{Z}$ 上作为环而言有限生成的域都是有限域.

在多项式环 $\mathbf{F}_p[T]$ 之后被研究的是

$$\mathbf{F}_p[X,Y]/(Y^2-f(X)) \tag4$$
这样的环. 这里, $p$ 是大于等于 $3$ 的质数, $f(X)\in\mathbf{F}_p[X]$ 是没有重根的三次式. 研究这种情况下的 $\zeta$ 函数 $\zeta_A(s)$ 比 问题 $\bf1$ 要困难得多, 但仍然比黎曼 $\zeta$ 函数简单得多.

$$\zeta_A(s)=\frac{1-ap^{-s}+p^{1-2s}}{1-p^{1-s}} \tag5$$

已知它会变成这样. 不仅如此, 还知道 $a$ 是整数, 且满足 $|a|<2\sqrt{p}$.

这个不等式的分子 $1−ap^{−s}+p^{1−2s}$ 可以分解为 $(1−αp^{−s})(1−\bar{α}p^{−s})$, 其中复数 $a$ 的绝对值等于 $p^{\frac12}$. 因此, $\zeta_A(s)$ 的零点的实部为 $\frac12$, 这意味着 $\zeta_A(s)$ 满足了类似于黎曼猜想的性质.

关于类似于黎曼猜想的问题, 我们已经知道了很多. 但是, 我们先不讨论这个问题, 而是考虑一下为什么分子的式子是 $p^{−s}$ 的二次式. 这里正是数论和几何相结合的地方.

关于这个问题的后续内容

数学的现在   (东京大学出版社)

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