基本概念不适的数学分析
本文是 Alien Copies, Gaussians, and Inter-universal Teichmuller Theory 中 §3.11 $\text{(i)}$ 至 $\text{(iii)}$ 的翻译.
我们在当前的第 §3 节中，以第 §1 节的风格，回到我们对假设的高中生的观点的讨论，来结束对 inter-universal Teichmüller 理论主要思想的阐述. 从专业数学家更复杂的角度来看，假设的高中生在尝试理解数学中的各种基本思想时可能会经历的 深刻概念不适 通常会得到更有建设性的分析和阐明. 此外，概念不适的数学分析 方法可以应用于分析一些数学家在研究 inter-universal Teichmüller 理论的各种中心思想时似乎经历过的不适，例如 $\mathfrak{log}\textbf{-}$ 和 $\Theta\textbf{-link}$.
$\text{(i)}$ 数学归纳法的证明： 一些高中生在接受 数学归纳法证明 的概念时遇到了很大的不适，例如，下述的证明情形：
例 3.11.1. 连续整数的平方和. 对任意正整数 $n$，成立 $$\sum_{j=1}^nj^2 = \dfrac{1}{6}n(2n+1)(n+1)$$ 这种不适有时表现为断言的效果，他们不能相信，不可能简单地给出某种更直接的同时适用于所有正整数的论点，也就是说，不诉诸这种间接的和 “非直觉的” 作为归纳假设的推理手段 $—$ 以事实证明的方式，例如：
例 3.11.2. 和的平方. 对任意正整数 $n,m$，成立 $$(n+m)^2=n^2+2nm+m^2$$ 另一方面，从专业数学家更复杂的角度来看，例 $3.11.1$、$3.11.2$ 中关于这些事实的常规证明的情况可以理解为：
例 $3.11.2$ 中的事实（实际上）适用于 任意交换环 中的任意元素 “$n$” 和 “$m$”，因此，尤其是最好理解为 交换环公理 的结果. 相比之下，例 $3.11.1$ 中的事实取决于特定环 $\Z$ 的结构，或者，本质上等价，关于特定幺半群 $\N$ 的结构. 特别是例 $3.11.1$ 中任何事实的证明都自然地以一种基本的方式取决于 $[\Z$ 或$]$ $\N$的定义. 另一方面，通过 数学归纳法 得出论点的逻辑结构本质上只是对 $\N$ 的 明确定义 的一种重新表述.
鉴于这种情况，尽管似乎很难以严格的方式表述和证明示例 $3.11.1$ 中不存在本质上不涉及数学归纳的断言，至少从数学的标准观点来看，在本科或研究生阶段，期望实例 $3.11.1$ 中存在基本上不涉及数学归纳的证明似乎并不自然或合理.
$\text{(ii)}$ 对数的域和陪域的辨识： 在对数概念的情况下，可能会出现与 $\text{(i)}$ 中讨论所不同的状况. 一些高中生在接受对数的概念时会感到非常不舒服，由于 指数 的表达式形如 $$a^b$$
$[$其中，假设 $a,b\in\R_{\gt0}]$ 那也就是在说 “$b$” 看起来有着 “根本意义的不同” 区别于一个 非 指数上的数字，也即 “$a$”. 根据指数中的数字与非指数中的数字之间的 “根本意义的不同” ，一个函数（例如对数），其 “转换” (converts) $[$参看比如这样的关系 $\log(a^b)=b\cdot\log(a)]$ 指数到非指数，从这些学生的角度来看，似乎是 “无限神秘” 或难以驾驭的. 从专业数学家的角度来看，指数中的数字与非指数中的数字之间的这种 “根本意义的不同” 可以理解为拓扑域 $\R$ 潜在的 (underlying) 乘法 和 加法幺半群 中的幺半群运算迭代之间的差异，即，作为拓扑域 $\R$ 的 乘法 和 加法结构 之间的差异，正实数上的 $[$自然$]$ 对数可以理解为某种自然同构
$$\log:\R_{\gt0}\;\overset{\sim}{\rarr}\;\R$$
在拓扑域 $\R$ 潜在的 $[$正$]$ 乘法幺半群和加法幺半群之间. 因此，一些高中生在接受对数概念时遇到的巨大不适可以理解为
难以接受拓扑域 $\R$ 的基础加法幺半群的标识，该拓扑域 $\R$ 在对数域中包含乘法幺半群 $\R_{\gt0}$，而拓扑域 $\R$ 潜在的加法幺半群出现在对数的陪域中，理由是对数映射与其域和陪域中的环结构不兼容 $[$即，不产生于两者之间的环同态$]$.
在此我们回顾，关于正实数上的自然对数的讨论中，这种标识通常被视为 “理所当然” 或 “视为不需要任何证明”. 类似的标识 “理所当然” 或 “视为不需要任何证明” 在关于 p-adic 对数 的典型讨论中，以及在 p-adic Hodge 理论 的背景下，于密切相关的 辨识（identification）中，“$\Z_p$” 的拷贝位于 p-adic 簇的 基域 内，其拷贝 “$\Z_p$” 作用于簇上某些类型的 étale 局部系统 $[$cf. 对[EtTh]的讨论，备注2.16.2；[Pano]最后部分的讨论，§3; [BogIUT]中对 “神秘张量积” 的讨论$]$. 相比之下，在 inter-universal Teichmüller 理论中的 $\mathfrak{log}\textbf{-link}$ 的情况下，它至关重要，如 §3.3 $(\text{ii})$ 的后一部分所述，
为了 区分 $\mathfrak{log}\textbf{-link}$ 的 域 和 陪域，因为 $\mathfrak{log}\text{-link}$ 的域和辅域的混淆 $—$ 即发生在 $\Theta\text{-link}$ 定义域中的 乘法 和 加法结构 的混淆 $—$ 将导致 $\Theta\textbf{-link}$ 非良定义 的情况.
特别地，足够有趣的一点是，尽管一些高中生在研究对数时所经历的巨大不适与讨论正实数的自然对数或 p-adic Hodge 理论背景下的 p-adic 对数时通常采用的观点不一致，一些高中生的这种严重不适，在某种程度上，与 inter-universal Teichmüller 理论中 对数-西塔-格（log-theta-lattice）背景下围绕 $\mathfrak{log}\textbf{-link}$ 的情况是 一致 的.
$\text{(iii)}$ ABC 不等式的概念性内容：
另一种情况 $—$ 在某些方面类似于 $\text{(i)}$ 中讨论的情况，但在其他方面与 $\text{(ii)}$ 中讨论的情况相关 $—$ 可以在有理整数的 ABC 不等式 的初步讨论中看到 $[$即 §3.7 中讨论的 Szpiro（不等式）猜想的直接后果，$\text{(iv)}]$. ABC 不等式最基本的版本可以表述如下：
存在正实数 $\lambda$ 使所有满足 $a+b=c$ 的互素（整）三元组 $(a,b,c)$ 成立
$$abc\le\bigg(\prod_{p\,|\,abc}p\bigg)^\lambda$$
这里我们观察到，这个不等式的 左侧 “LHS” 是一个度量 (measures) 大小 (size) 的量 (quantity) $—$ 即，从更高等的观点来看，三元组 $(a,b,c)$ 相对于加法幺半群 $\N$ 的 加法结构 的 高度 (height)，这个不等式的右侧 “RHS” 是一个由三元 $(a,b,c)$ 的乘法幺半群 $\N_{\ge1}$ 模掉一个（辨识素数的任意正幂的）商关系 “$p\sim p^n$” [对于 $n$ 为正整数] 而产生的量. 注意，从 $\N$ 的加法结构中可以立即导出 $\N_{\ge1}$ 的乘法结构，例如，通过将 “$a\cdot b$” 视为 $a$ 的 $b$ 次拷贝的和 $a+\cdots+a$，也可以将上述不等式的左侧视为相对于 $\Z$ 的 环结构 的三元组 $(a,b,c)$ 大小的度量 [即，涉及 $\Z$ 的加法和乘法结构]. 特别的是，人们可以从更概念化的角度理解反向的 “平凡不等式”，即
$$abc\ge\prod_{p\,|\,abc}p$$ 从这一基本的观察中反映出，作为对乘法幺半群 $\N_{\ge1}$（考虑模掉 $\sim$）可能 “很容易从中导出” $—$ 或者，换言之，是 “被支配$/$受控于” $—$ $\Z$ 的加性结构$/$环结构：
$\bigg($ $\Z$ 的加法结构$/$环结构 $\bigg)$
$\succ\bigg($ 乘法幺半群 $\N_{\ge1}$ 模 $\sim\bigg).$
相比之下，上述 ABC 不等式的基本形式可能在更概念的层面上被理解为，在某种 “不确定性” $[$对应于 “$λ$”$]$下，乘法幺半群 $\N_{\ge1}$（考虑模掉 “$\sim$”）足够有效（sufficiently potent）地 支配$/$控制 $\Z$ 的加法结构$/$环结构：
$\bigg($ $\Z$ 的加法结构$/$环结构 $\bigg)$
$\prec\bigg($ 乘法幺半群 $\N_{\ge1}$ 模 $\sim\bigg).$
这是一个有点惊人的断言，因为，至少从先验的角度来看，从环 $\Z$ 到乘法幺半群 $\N_{\ge1}$ 模 $\sim$ 似乎涉及相当大的数据$/$结构损失. 另一方面，对 ABC 不等式的这一概念性解释让人联想到 $\Theta\textbf{-link}[$cf. 第 $\text{(ii)}$ 节中 $\mathfrak{log}\text{-link}$ 的讨论$]$和 inter-universal Teichmüller 理论的 multiradial 表示，这实际上断言 $[$cf.第3.7节（i）节中的讨论$]$
通过 $\Theta\textbf{-link}$ 粘合 (glued) 在一起的数据中出现的 乘法 幺半群$/$Frobenioids，以及 Galois 作用，足够有效 地 支配$/$控制 某些不确定性 $—$ 通过 $\Theta\text{-pilot}\;—$ 环结构$/$算术全纯结构 在 $\Theta\textbf{-link}$ 作用域中的 multiradial 表示，即
$\bigg($ 提升到 $\Theta\text{-pilot}$ 的环结构 $\bigg)$
$\prec\bigg(\Theta\text{-link}$ 中的乘法幺半群$/$Frobenioids 及 Galois 作用 $\bigg).$
也就是说，总之，
上面讨论的 ABC 不等式 的 概念解释 已经足够丰富，足以有力地表明 inter-universal Teichmüller 理论的许多特征，例如，multiradial 表示，达到 (up to) 合适的 不确定性，与较弱的$[$先验$]$ (a priori) 数据关联的 各种不同的环结构，即 $—$ 出现在 $\Theta\text{-link}$ 中的乘法幺半群$/$Frobenoid 和 Galois 作用.
特别是，从 ABC 不等式的概念解释的角度来看，inter-universal Teichmüller 理论的这些特征是非常自然的，并且在某种适当的意义上确实非常接近于 “不可避免的”$[$cf.讨论 $\text{(i)}]$. 最后，我们观察到这种相互作用，关于通过 multiradial 表示，刚性（rigid）环结构 $[$决定“高度”$]$和 不确定的较弱结构 $[$素数与其正幂等同$]$之间的 “支配$/$控制” 让人想起 §3.10 $\text{(vi)}$ 中的讨论在 Bogomolov 对 Szpiro 猜想几何版本的证明中，刚性（rigid）$SL_2(\Z)[$其中，幂函数元素的共轭类决定“高度”$]$和 较少（less）刚性 $SL_2(\R)[$其中，幂函数元素的共轭类通过 “$δ^\text{sup}(-)$” 确定此类元素的任意正幂$]$之间的相互作用.
译注：后面的 $[\text{(iv)}$ 逻辑且与逻辑或，多重拷贝，multiradiality$]$ 看不懂，故到此为止.