整理自 Youtube 视频 abc Conjecture and New Mathematics.

演讲正式内容开始前 (评论区的) 的一道数列问题:
$$a_1=-3,a_{n+1}=7-\frac{10}{a_n}$$

由于和内容无关, 这里只给出结果
$$a_n=5+\frac{3\cdot2^{n+2}}{5^n-2^{n+2}}$$

其他在演讲进行时出现的 (Nico Nama) TeX 评论大多比较零碎, 往往只是一些字母或表达式, 没有明确的意义.

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注: 根据加藤文元本人的说法, 这是讲给中学生的 IUT 理论. 关于 abc 猜想的技术细节不是演讲的主要部分, 加藤不太关心这个猜想本身是否真的被证明了 (如果是, 它是如何被证明的) 相反, 他宁愿关注 IUT 理论的新颖方面, 以及想法本身.

加法和乘法的纠缠

同时涉及到加法和乘法的问题往往都非常困难, 如 abc / twin prime / Goldbach conjecture. 为了真正有效地分别处理加法和乘法, IUT 理论建议在数学的多个 theaters 「舞台」 中工作, 并通过展开和收缩乘法将两者组合起来 (宛如杂技).

注: 「不同的舞台」 有时也被称作 「不同的宇宙」 或 「不同的世界」.

Edward Frenkel 的类比

「有两种类型的数学, 一个是你在学校学到的东西, 这是一个有答案的拼图游戏. 另一方面, 研究数学就像没有答案的拼图游戏. 」

IUT 理论不同于学校的数学和研究中的传统数学, 加藤文元表示, 在拼图游戏看来，IUT 理论 (令人惊讶地) 连接了不同大小的碎片. 当然, 这不是 IUTT 的全部, 但却是很关键的一部分.

大小不同的拼图并不适合传统数学, 但 IUT 可以将它们组合起来. 为了让它们发挥作用, 可以假设它们属于不同的舞台, 然后形式地放在一起. IUT 尝试刻画舞台之间运输工具的不完全性, 它量化了由此造成的失真或不确定. 这是 IUT 理论的基本特征.

笔者注: 此处的 「刻画不完全性」 非常容易使人想到类数.

什么是 Theater

从某种意义上说, 一个舞台是一套完整的日常数学工具, 是一个可以做数学的环境, 可以同时使用加法和乘法. 通常, 在传统数学中, 只在一个舞台里做数学, IUTT 试图提供同时在多个舞台工作的灵活性.

在不同的舞台下, 同一个对象可以是不同的, 反之, 不同的对象其实可以是同一个对象 (可能会出现这种矛盾的情况).

$\Theta\textbf{-link}$

不合适的拼图

大小不同的拼图在同一个舞台下无法拼接, 但在不同的舞台中却有可能.

同一个舞台的拼图

在另一个舞台的右侧拼图

测量

在数学上, 这两部分是 IUT 理论中的两次乘法. 与另一种乘法相比, 一种乘法因膨胀或收缩而变形. 使用不同的舞台将它们放在一起, 这就是所谓的 Theta-link ($\Theta\textbf{-link}$). 在不同的舞台里, 保持加法不变的情况下, 用膨胀或收缩复制乘法, 然后将它们连接在一起. 这里试图在两个原本不同的部分之间以形式或 「同义反复」 的方式组合或建立关系, 特别是因为它们在每一方都属于不同的舞台, 如果你简单地把它们等同起来, 或者把它们带回一个舞台, 这种等同就会产生矛盾. 因此, 需要谨慎对待不能简单地将它们等同起来的事实. 这意味着如果使用等式或不等式, 或者将它们带回标准数学 (尽管这可能有点误导), 则会导致失真.

IUT 理论中的重要事实是, 可以测量由不同舞台之间的传输引起的失真. 事实上, 这是 IUT 理论中非常重要的定理之一.

笔者注: 关于这一点, 望月本人也有类似的说法, 可参见 Gaussian integral 计算综述.

通过测量失真的程度, 它在不同舞台的对象之间建立了不等式, 就像 $$\deg\Theta\le\deg q+c$$ 其中出现了失真量. 利用这种不等式, IUT 理论可以提出类似 abc 猜想的不等式.

对称与重构

这一部分关注的重点是, 对象能否从它们的对称性中重构. 对称性是一个对象自身的属性, 例如考察一个正三角形, 它具有 $120$ 度的旋转对称性, 但是这里即便忽略掉对象本身, 仅仅从这个 $120$ 度的旋转对称性出发, 也能得到正三角形这个对象本身.

如果对象可以从它们的对称性中 (无论是完美地还是非常有效地) 重构. 因此, 可以通过这些对称性来传输对象, 确切的说, 实际上并不能传输对象本身, 但是可以传输对象的一些信息并加以复原 (就像通过电信号那样), 例如拉出对称性, 在这里称之为 「分离」, 并传输它们. 通过在接收端重构, 现在可以共享同一个对象.

失真

两个数学舞台, 其中一个通常嵌套在另一个中. 在舞台之间, 不能直接运送对象. 更具体地说, 假设不可能同时传输加法和乘法的过程, 然而，对称属性可能超越舞台间的高墙. 倘若如此, 首先通过分离将一个对象编码成对称性, 将它们传送到另一个舞台, 然后在另一边重构这个物体. 但是, 此过程存在局限性, 不能仅从对称性中完全重构对象. 它可能不准确, 因为无法重构对象的确切形状, 在这种情况下, 正三角形仅来自 $120$ 度旋转对称, 大小会不一样, 边缘可能会变圆. 因此, 从这个意义上讲, 会出现一些偏差、不一致或失真.

作为一个基本原则, 对称性越复杂, 就能越准确地重构它. 例如, 在重构中, 六边形可能比正方形失真小. 由于圆具有连续对称性, 如果能够传输这种对称性, 将能够完全重构圆直到相似. 在传输对称性时, 复杂程度将发挥重要作用. 而关于如何定量或定性地定义对称复杂性的级别, 这个问题早已被群这一概念解决.

Galois

然而, 从其对称性重构对象的概念并不是 IUT 理论首创. 考虑一个代数方程, 一个多项式等于零的形式的方程, 当它的次数为 $n$ 时, 它有 $n$ 个根, Galois 群是这 $n$ 个根的置换, Galois 理论表明 Galois 群拥有方程可解性的信息, 即重构根的过程. 五 (或更高) 次代数方程没有通用的代数公式, 这是因为在这种情况下, 重构其 Galois 群的对称性所描述的根的过程并不对应于代数运算.

Anabelian Geometry 提供了一种从基本群或 Galois 群的对称性重构数学对象的方法. 「Anabelian」 一词是指理论中出现的 Galois 群或基本群与 Abel 群相距甚远, 即它们具有足够的复杂性来重构某些数学对象.

IUT

正如到目前为止所解释的, IUT 理论试图做三件事: 在不同舞台之间传输信息, 重建它们, 然后计算失真. 然而, IUT 理论在某种意义上是独一无二的, 它考虑了多个舞台, 这超出了常识并提供了一种新的灵活性. 这里重要的是, 即使使用 IUT 理论, 也希望以通常的方式证明等式/不等式. 传统上, 数学家们一直在单个舞台中进行尝试, 但是, 也许有一些事情是在一个舞台做不到的, 考虑多个舞台可能会走弯路, 但 IUT 理论试图通过利用新的灵活性来证明不等式.

在不同的舞台, 有 $q^N$ 几乎对应 $q$. 为了避免传输时的失真, $q$ 被视为有着丰富对称性的 $\theta$ 函数的值, 并且只传输 $\theta$ 函数的对称性, 在另一个舞台接收到之后使用 Anabelian Geometry 将其复原. 这样就可以通过取其特殊值来计算正确的 $q^N$. 当然, 这个步骤还不足以得出 ABC 猜想, 还需要一个类似的计算, 即恢复数域.

实际上, 计算必须同时对无限对进行, 用数学术语来说, 必须为所有 「位点」 计算它们. 对于所有 Archimedean 和非 Archimedean 的位点, 为了同时进行无数次计算, 需要将它们全部同步. 这一点是非常有技术含量的, 必须在加法和乘法对称之间建立一个非常复杂的同步, 并同时计算它们.

笔者注: 此处的 「位点」 即 place.

这就是整个故事.