复观教材感录

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应 山々 之邀特作此篇, 以录鄙之薄见. 仅供开阔思维或观赏娱乐, 不宜用作复习备考资料.

此处教材指 北京师范大学出版社-经全国中小学教材审定委员会 2006 年初审通过-普通高中课程标准实验教科书-数学 必修、选修系列 2、选修 4-4 与 选修 4-5.

必修 1

pp. 15, 16

习题 A-7 即 反演律 (德·摩根律). 习题 B-2 即为 容斥原理 的应用.

“(康托) 成功地证明了，一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应 …” 即是指 $|\R|=|\R\times\R|$ (证明只需将两实数插空便可), 也正是在这篇阅读材料中, 我们首次接触到了 “集合论” 和 “数学分析” 这两个词.

p. 35

“平面上点到其坐标的对应关系是一种映射, 可以看作是从平面上的点集到二元实数集 $\{(x,y)|x,y\in\R\}$ 的一个映射” 这句话即为平面解析几何的原理，亦暗示了如下内容：

  1. 几何问题可以转化成代数运算来解决 & 代数问题拥有几何背景 (见必修 2 p. 96)，即解析几何.
  2. 表示点位置的方法并不唯一，因而有选修 4-4 中极坐标系、参数方程的引入.
  3. 不妨大胆设想坐标之间的映射——即指伸缩变换 (选修 4-4 p. 4), 其中有值得读者探究的不变量.
  4. 解析几何又称坐标几何, 其关注的对象总离不开坐标，然而其中的几何性质却难以窥见. 实际上, 解析几何正是在用代数的方式来描述几何对象, 倘若想以某种方式直接表示几何对象之间位置关系, 则拓扑思想的萌芽便产生了.

p. 52

Dirichlet 函数是一个 (关于周期函数的) 很好的反例, 而此前并未提及过周期函数 (于三角函数中引入) 这一概念, 置于此处是为阐述函数观念的转变, 当然现在我们知道此函数亦作 $\lim\limits_{k\to\infty}\left(\lim\limits_{j\to\infty}(\cos(k!\pi x))^{2j}\right)$.

在这篇阅读材料的资料来源中出现了 “N. Bourbaki” 一词, 对于从未听说过 “布尔巴基” (Bourbaki) 的人来说, 这个陌生的名字可能很难引起他们的注意 (相较之下会更熟悉作为前者的 Bernoulli), 我自然也是其中之一. 关于 Bourbaki 的补充见 飛鳥.

p. 57

习题 B-5 依稀可见 分式线性变换 (莫比乌斯变换) 的影子, 且此形式在后续内容 (p. 97 习题 B-3) 中仍会出现. 后者实际上是给出了恒等式：
$$\dfrac{1-a}{1+a}\cdot\dfrac{1-b}{1+b}=\dfrac{1-\dfrac{a+b}{1+ab}}{1+\dfrac{a+b}{1+ab}}$$
以供兼备想象力与好奇心的学生去关注所谓的 “结构”, 若是再与选修 2-2 pp. 104, 106 复数乘除法的定义结合起来思考, 便能打开代数学奇妙新世界的大门.

对有足够背景知识的读者的明示: 不妨考虑整系数分式线性变换在 $\text{PGL}(2,\mathbb{Q})$ 的共轭.

pp. 65, 68, 88

p. 65 的阅读理解部分中指出了无理数 $\sqrt{2}$ 较好的近似 $\sqrt{2}=1.4142135623730950488…$, 表明此数据常用于估值, 而 $1.4\lt\cdots\lt1.4142\lt\cdots\lt\sqrt{2}\lt\cdots\lt1.4143\lt\cdots\lt1.5$ 暗示了一种实数构造的方式.

习题 p. 68 A-3、A-6 分别给出 $\sqrt[3]{5}=1.70997…$,$\dfrac{1}{\sqrt[4]{e}}=0.77880…$, 习题 B-1 中有 $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$ 这样一题, 无非是想引诱学生发现下面的事实:
$$\underbrace{\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\cdots}}}}_{n}=a^{1-2^{-n}}$$
注意此时我们尚未了解等比数列的求和, 但仍可通过对正方形的等面积分割计算 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\cdots=1$.
特别的, 令 $n\to+\infty$, 立即得到 $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\cdots}}}=a$. 更一般的有 $\underbrace{\sqrt[p]{a\sqrt[p]{a\sqrt[p]{a\cdots}}}}_{n}=a^{(1-p^{-n})/(p-1)}$.

仍令 $n\to+\infty$, 即得 $\displaystyle\sum_{k\ge1}p^{-k}=\dfrac{1}{p-1}$, 此时, 若读者稍作思考, 便能发现 $\dfrac{1}{1-z}=\displaystyle-\sum_{k\ge1}z^{-k}\;(|z|\gt1)$, 于是在无意之中我们将 $z$ 的定义域扩大到了收敛域以外, 即左端 $\dfrac{1}{1-z}$ 的 洛朗级数 展开, 再结合熟知的 (泰勒级数) $\dfrac{1}{1-z}=\displaystyle\sum_{k\ge0}z^k\;(|z|\lt1)$, 这将会启发学生对 解析函数奇点 和 收敛半径 等概念的思考.

习题 p.68 B-4 是黄金分割律算术性质的体现, 习题 p. 88 B-1 表明 $(n^2+n+1)(n-1)=n^3-1$, 此处或许是想引诱学生发现 分圆多项式 (不妨将根绘制在复平面上) 以至 解析数论 的存在:
$$x^n-1=\prod_{k=1}^n(x-\varepsilon^k)=\prod_{d\,|\,n}\Phi_d(x)$$
其中 $\varepsilon=\cos\dfrac{2\pi}{n}+\sqrt{-1}\sin\dfrac{2\pi}{n}$.

必修 4

pp. 15, 18

p. 15 中 “设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P$, 则点 $P$ 的坐标为 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$, 且 $OP=1$.” 此即我们尚未了解的参数方程之使用, 而有心者则可从中窥知一二.

p. 18 从正、余弦的基本性质中给出 $|\cos|\le1$,$|\sin|\le1$, 然而此不等关系的微妙之处要等到对向量内积 (p. 94) 和基本不等式 (必修 5) 的学习之后才能洞悉, 下面给出部分提示.

p. 94 向量数量积的定义中给出 $\bm{a}\cdot\bm{b}=|\bm{a}||\bm{b}|\cos\theta$, 并在性质中明确指出 $|\bm{a}\cdot\bm{b}|\le|\bm{a}||\bm{b}|$, 为提供直观, 不妨选取 $\bm{a}=(a,b),\bm{b}=(c,d)$, 便可立即得到:
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2$$
此即选修 4-5 中将要学习的 (二元) Cauchy 不等式, 在 p. 98 内积的坐标表示中亦有此暗示, 由此不等式容易推知 $a^2+b^2\ge\dfrac{(a+b)^2}{2}\ge2ab$, 若作简单的换元处理, 则有 $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{c^2}{d^2}\ge\dfrac{(a+c)^2}{b^2+d^2}$, 后者也被称作 ($p=2$ 时的) 权方和不等式, 两者的一般形式则留于有兴趣的读者自行检索互联网资源.

对于后者, 不妨考虑 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\;(a\gt b\gt0)$, 此即选修 2-1 p. 64 页中介绍的椭圆的标准方程, 对此方程应用上述不等式得 $\dfrac{(x+y)^2}{a^2+b^2}\le1$, 而 $(x,y)$ 为椭圆上的点, (借助选修 4-4 p. 35 了解到的椭圆的参数方程) 故还可假设 $x=a\cos\theta,y=b\sin\theta$, 则有:
$$x+y=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi)\le\sqrt{a^2+b^2}$$ 其中 $\varphi=\tan^{-1}\dfrac{a}{b}$, 同样可推知上述结论.

之所以可以这样假设, 是因为有 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$, 而另一方面知 $\cosh^2\theta-\sinh^2\theta=1$, 仿照上例则导出双曲线的标准方程 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 及 $(x-y)^2\ge(a^2-b^2)$, 其中用到了:
$$a\cosh\theta-b\sinh\theta=\sqrt{a^2-b^2}\cosh(\theta-\varphi)$$ 其中 $\varphi=\tanh^{-1}\dfrac{b}{a}$.

一方面我们注意到了 $\R$ 与 $\mathbb{C}$ 之间奇特的联系, 另一方面还了解到这样一种朦胧的性质——在不等式中引入 $\sqrt{-1}$ 会使得不等号反向.

借由这种性质, 我们大胆猜测 $\dfrac{a^2}{b^2}-\dfrac{c^2}{d^2}\le\dfrac{(a-c)^2}{b^2-d^2}$, 并类似的推出
$$(a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2$$
事实上, 这被称作 (二元) Aczel 不等式. 回到出发点, 我们是通过实向量内积导出 Cauchy 不等式的, 而现在我们发现了其在复数域的类比, 实际上便可由此定义 复向量内积.

整体来说, 这都可以归因于选修 2-2 p. 99 页对复数的定义:
$$\mathbb{C}=\R(\sqrt{-1})=a+\sqrt{-1}b,\;(a,b)\in\R^2 $$
而一旦我们不再局限于研究 $\R$ 和 $\sqrt{-1}$, 即试图考虑 $\mathbb{Q}[\sqrt{n}],n\in\mathbb{Q}$, 便能从中窥得 域扩张 的原型与动机.

pp. 88 ~ 120

p. 88 “我们把向量 $\overrightarrow{OP}$ 作为与它相等的所有向量的一个代表” 这句话无非是在暗示 等价类 的概念.

p. 92 习题 B-4 “用坐标表示平面向量, 对于向量的运算及向量关系的研究带来什么变化?” 读者不妨参考 p. 35, 思考何为代数及如何使用代数.

p. 95 例 2 余弦定理の初登场, 容易推得 射影定理 (第一余弦定理), 即在三角形 $ABC(abc)$ 中 $a=b\cos C+c\cos B$ ($b,c$ 同理).

p. 117 习题 A-7 是对圆极坐标方程的明示, 与选修 4-4 p. 10 的内容完全相同.

p. 118 两角差的余弦函数, 这一节通过向量内积的方式导出两角差余弦公式, 其中对向量的使用
$$\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP}_2=\cos(\alpha-\beta)$$
值得读者思索一番.

p. 137 习题 B - 11 $$\cos\dfrac{π}{17}\cos\dfrac{2π}{17}\cos\dfrac{4π}{17}\cos\dfrac{8π}{17}=\dfrac{1}{16}$$

用类似的方法可以证明
$$\prod_{k=1}^n\cos\dfrac{2^{k-1}π}{2^n+1}=\dfrac{1}{2^n}$$ 及与之类似的结论.

其他

折线

选修 2-1 pp. 63, 64 的椭圆方程的推导细节 (小字部分) 表明了如下事实:
$$|px+a|+|px+b|\le c$$
其解为 $-\dfrac{a+b+c}{2p}\le x\le-\dfrac{a+b-c}{2p}$.
对于 $|\cdot|+|\cdot|\ge\text{const}$ 时的情况, 将结果取补即可.

结语

自然, 这不是全部. 还有许多有趣的内容我没有写出, 但这应该留给你们自己去发现.