人物Ernst Eduard Kummer [ernst-kummer]

January 29, 1810 – May 14, 1893
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Exegesis. 日经观点 [baby-viewpoint]

February 11, 2025
kokic

$\gdef\Mat{\operatorname{Mat}}$ $\gdef\vol{\operatorname{vol}}$ $\gdef\diag{\operatorname{diag}}$ $\gdef\d{\operatorname{d}}$ $\gdef\R{\mathbf{R}}$ $\gdef\Q{\mathbf{Q}}$

一个矩阵 $A \in \Mat_{n \times n}(\R)$ 所确定的线性映射 $\alpha: \R^n \to \R^n$ 作用在 $X \in \R^n$ 上, 此映射对 $X$ 的体积 $\vol(X)$ 的缩放量为 $\det A$. 即 $\vol(\alpha X) = \det A \cdot \vol(X)$. 特别地取 $A = \diag(a,b)$, 然后乘单位圆 $u^2+v^2=1$ 上一点构成的向量 $(u,v)$, 得到满足椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的 $(x,y)$, 这样便能看出椭圆的面积 $S = \det A \cdot \pi$.
设 $\omega$ 是一个 $k$-形式, 它的两次微分 $\d(\d \omega) = 0$. 另一方面, 考虑一个有向流形 $\Omega$ 和它的边缘 $\partial \Omega$, 我们知道 $\partial(\partial M) = \varnothing$. 这两件事相互对偶.
考虑数域 $K=\Q(\alpha_1, \cdots, \alpha_i)$ 的一个存在于上的历史原因是, 在适当的 $K$ 中考虑能够使原本在 $\Q$ 上无法分解的 Diophantus 方程因式分解. 如 $\Q(\sqrt{-7})$ 能使 Ramanujan–Nagell 方程 $x^2=2^n-7$ 改写为 $(x+\sqrt{-7})(x-\sqrt{-7})=2^n$. Fermat 方程 $x^n+y^n=z^n$ 能够在 $\Q(\zeta_n)$ 上分解成 $x^n=(z-y)(z-\zeta_n y) \cdots (z-\zeta_n^{n-1} y)$, 这是 Kummer 提出 理想数 概念的一个原因.

Definition. 染色图 [chromatic-graph]

July 21, 2024
kokic

图的染色多项式最早是由 George. D. Birkhoff 为了解决四色问题而提出的, 当然我们现在知道他并没有完全成功, 就如同 Kummer 的理想理论之于费马大定理.

Theorem. 删除–收缩公式 [deletion-contraction]

July 21, 2024
kokic

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\quads#1{\quad #1 \quad}$ $\gdef\without{\setminus}$

对于简单图 $G$, 其色多项式 $\pi(G)$ 成立如下关系

$$ \pi(G) \spaces= \pi(G \without e) \spaces- \pi(G / e), \quad \forall ~ e \in \text{Edge}(G) $$

Proof. [deletion-contraction-proof]

July 21, 2024
kokic

$\gdef\quads#1{\quad #1 \quad}$ $\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\without{\setminus}$

$\gdef\str#1{{\footnotesize #1}}$ $\gdef\sstr#1{~{\footnotesize #1}~}$

假定边 $e$ 的两个端点分别为 $A,B$, 不难发现 $$\begin{aligned} \pi(G \without e) &\spaces= \pi(G \without e \sstr{中} A,B ~\str{同色的部分}) ~ + ~ \pi(G \without e \sstr{中} A,B ~\str{异色的部分}) \\ &\spaces= \pi(G / e) ~ + ~ \pi(G) \end{aligned}$$

此处, $G \without e$ 是将 $G$ 的边 $e$ 删去, $G/e$ 是将 $e$ 两侧的顶点合并为一个.

这个结果可等价地叙述成连接的版本, 可称为 “连接–收缩公式”. 对于简单图 $G = (V, E)$

$$ \pi(G) \spaces= \pi(G + uv) \spaces+ \pi(G / uv), \quad \forall ~ uv \notin E $$

这里, $G+e$ 是指将 $e$ 两侧的顶点连接, $u v$ 是指顶点 $u, v$ 连接得到的边.

利用此结果, 可以轻易计算较为复杂的简单图的染色数, 如 .

现在, 由于删除–收缩公式, 可以知道 $\pi(C_4)$ 的着色数是 $4$ 点径图与三点环图 $C_3$ 着色数的差, 即