$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$
此为 Hölder 不等式 的等价命题. 对于共轭指数 $p,q \in \R_{> 0}$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, 留意
$$ \tfrac{p-1}{p} \spaces= 1-\tfrac{1}{p} \quad (= ~ \tfrac{1}{q}) $$
于是 $\frac{p}{q} = p-1$. 在 Hölder 不等式 中实行替换 $a_k \mapsto \frac{x_k}{\sqrt[q]\ell_k}$, $b_k \mapsto \sqrt[q]\ell_k$, 两边做 $\square^p$, 即得
$$
\Big(\sum_{k=1}^n\frac{x_k^p}{\ell_k^{p-1}}\Big) \Big({\sum_{k=1}^n{\ell_k}}\Big)^{p-1}
\spaces\ge \Big(\sum_{k=1}^nx_k\Big)^p
$$