$\gdef\N{\mathbf{N}}$ $\gdef\C{\mathbf{C}}$

Cantor 的思路很大程度上可以视为一种数论策略. 他首先想的是对多项式 $P$ 定义一个恰当的 高度概念 $H(P) \in \N$, 使得一旦我们固定了正整数 $h$, 则只会存在有限个多项式 $P$ 满足 $H(P) = h$, 且任意多项式都能被某个高度覆盖. 即用高度分类全体多项式的同时又控制了多项式的复杂程度. 随后, 代数基本定理保证给定 $n$ 次多项式, 其根在 $\C$ 上至多只有 $n$ 个, 全体代数数便可以写为可数个有限集的并, 如此证得.

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\N{\mathbf{N}}$

遵循着 这种思路, Cantor 给出的高度定义为:

$$ H(P) \spaces= \deg P - 1 + \sum_{0 \le i \le n} |a_i| $$

反过来, 任给一个整系数多项式 $P$, 我们都能计算他的 $H(P) \in \N$.

$\gdef\N{\mathbf{N}}$ $\gdef\Z{\mathbf{Z}}$

固定 $h \in \N$, 则集合 $P_h = \{ P \in \Z[x] : H(P) = h \}$ 有限. 为了证明这件事, 注意到此时多项式的次数最多是 $h$, 因为至少有一个非零整系数 $a_i$ 使得 $|a_i| \ge 1$. 另一方面, 每个 $a_i$ 也满足 $|a_i| \le h$, 因此一个多项式的所有信息都被正整数 $h$ 控制, 故 $P_h$ 有限.

$\gdef\C{\mathbf{C}}$

固定 $h \in \N$, 集合 $R_h = \{ z \in \C : P(z) = 0, P \in P_h \}$ 有限. 对 $P \in P_h$ 处每一个固定的 $P$ 使用代数基本定理, 便可得到此时的 $z$ 也只有有限多个.

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\A{\mathbb{A}}$ $\gdef\N{\mathbf{N}}$

根据代数数域 $\A$ 的定义之一, 我们知道 $\A = \bigcup_{h \in \N} R_h$ 所以 $|\A| = |\N|$, 即可数.