Exegesis. Cantor 的思路 [CAN1]

$\gdef\N{\mathbf{N}}$ $\gdef\C{\mathbf{C}}$

Cantor 的思路很大程度上可以视为一种数论策略. 他首先想的是对多项式 $P$ 定义一个恰当的 高度概念 $H(P) \in \N$, 使得一旦我们固定了正整数 $h$, 则只会存在有限个多项式 $P$ 满足 $H(P) = h$, 且任意多项式都能被某个高度覆盖. 即用高度分类全体多项式的同时又控制了多项式的复杂程度. 随后, 代数基本定理保证给定 $n$ 次多项式, 其根在 $\C$ 上至多只有 $n$ 个, 全体代数数便可以写为可数个有限集的并, 如此证得.