Lemma. 定高多项式集有限 [CAN3]

$\gdef\N{\mathbf{N}}$ $\gdef\Z{\mathbf{Z}}$

固定 $h \in \N$, 则集合 $P_h = \{ P \in \Z[x] : H(P) = h \}$ 有限. 为了证明这件事, 注意到此时多项式的次数最多是 $h$, 因为至少有一个非零整系数 $a_i$ 使得 $|a_i| \ge 1$. 另一方面, 每个 $a_i$ 也满足 $|a_i| \le h$, 因此一个多项式的所有信息都被正整数 $h$ 控制, 故 $P_h$ 有限.