Example. 经典对称幂指数不等式 [exponent-symmetry]
Example. 经典对称幂指数不等式 [exponent-symmetry]
$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$
设 $0 < x_1, x_2, \cdots, x_n < 1$. 试证
$$ x_1^{x_2} + x_2^{x_3} + \cdots + x_n^{x_1} > 1 $$
利用 Bernoulli 不等式, $(1+\frac{x}{y})^{\frac{1}{x}} \geqslant 1+\frac{1}{y} > \frac{1}{y}$ 得到 $1+\frac{x}{y} > \frac{1}{y^x}$, 即 $y^x > \frac{1}{1+\frac{x}{y}}$.
$$ \begin{aligned} x_1^{x_2} + x_2^{x_3} + \cdots + x_n^{x_1} &\spaces> \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \frac{1}{1+\frac{x_1}{x_{i+1}}} \\ &\spaces> \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \frac{x_{i+1}}{x_1 + x_2 + \cdots + x_n} \\ &\spaces= 1 \end{aligned} $$
此处 $i+1$ 按照 $\Z/n\Z$ 处理.