$\gdef\N{\mathbf{N}}$
$\gdef\Z{\mathbf{Z}}$
记 $B$ 是二叉树类型, 则存在一个 “极精确的双射” $B \xrightarrow{\sim} B^7$.
显然并非所有 $\zeta_6$ 满足的等式都能提升到 $B$ 之间的同构, 如 $B^6 \ncong 1$. 自然的问题是, 哪些等式能提升到同构? 这个问题由下面的 Fiore–Leinster 定理 回答.
$\gdef\N{\mathbf{N}}$
$\gdef\Z{\mathbf{Z}}$
设 $f,g_1,g_2 \in \N[x]$, 其中 $f$ 有非零常数项且 $\deg f \ge 2$. 若 $f(x) - x$ 整除非常值的 $g_1-g_2$ (在 $\Z[x]$ 中), 则在 $\N[x]/(x=f(x))$ 中, $g_1(x)=g_2(x)$.
特别的, 取 $f(x)=1+x^2$, Fiore–Leinster 定理 表明, 若在 $\N[x]/(x=1+x^2)$ 中成立 $f(x) = g(x)$, 则存在 “极精确的双射” $f(B) \cong g(B)$. 在 $\N[x]/(x=1+x^2)$ 中可以演绎得到 $x=x^7$ 但无法给出 $1=x^6$. 对于前者 $x^7-x = (x^2-x+1)(x^5+x^4-x^2-x) = 0$. 再看 $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$, 这给出 $B^4+B^2+1 \ncong 0$, $B^4+B^2+B+1=B$.
这套想法亦可应用于其他树结构, 如有根平面树, 其每个结点有 $0$, $1$ 或 $2$ 个子结点, 即 $T \cong 1+T+T^2$. 由 Fiore–Leinster 定理, 存在 “极精确的双射” $T \cong T^5$.