Exegesis. 矩阵表示 [synthetic-differential-000D]

$\gdef\quads#1{\quad #1 \quad}$ $\gdef\str#1{{\footnotesize #1}}$ $\gdef\C{\mathbf{C}}$ $\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

这样一来, 我们所说的 “将近似修正为严格等于” 就可以精确表示为

$$ \frac{\partial f}{\partial x} \quads= f(x+\varepsilon) ~ \str{中} ~ \varepsilon ~ \str{项的系数} $$

复步微分法 的来源是完全解析的, 但其得到的微分方法却能代数地刻画. 正如我们可以考虑复数的 $z = a+b\sqrt{-1} \in \C$ 矩阵表示

$$ A \spaces= \begin{pmatrix} a & -b \\ b & ~~~a \\ \end{pmatrix} ,\quad \det A \spaces= (a+b\sqrt{-1})(a-b\sqrt{-1}) $$

我们也可以构造 对偶数 $a + b \varepsilon \in R$ 的矩阵表示, 并自动得到微分运算的加法和乘法规则, 这可以被简单地视为 Moler 方法的矩阵版本.

$$ A \spaces= \begin{pmatrix} a & a' \\ 0 & a \\ \end{pmatrix} ,\quad \det A \spaces= (a+b\varepsilon)(a-b\varepsilon) $$