Exegesis. 链式法则 [synthetic-differential-000E]

$\gdef\Mat{\operatorname{Mat}}$ $\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\d{\operatorname{d}}$ $\gdef\eqdef{\overset{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}}$

与 $\Mat_{2 \times 2}(R^R)$ 上的 运算 不同, 复合运算是只位于 $R^R$ 上的, 或者说 $\Mat_{2 \times 2}(R^R)$ 上并没有周知的复合运算. 为了自然地给出 $A: J^1(R, R) \to \Mat_{2 \times 2}(R^R)$ 上的复合, 这里 $J^1$ 是一阶 射流丛. 记 $\square(x)$ 为 $\square_x $, $A(u)$ 为 $A(u,u')$, 考虑显式应用的 $A(u)$, 即

$$ A(u)_x \spaces\eqdef \begin{pmatrix} u_x & u'_x \\ 0 & u_x \end{pmatrix} \spaces\in \Mat_{2 \times 2}(R), \quad x \in R $$

对于 $u: Y \to Z$, $v: X \to Y$. $A$ 上的复合 $A(u) \circ A(v)$ 可定义为 $A(u)_{v_x}$, $(v_x, v'_x) \in A(v)_x$. 我们来验证 $A(u) \circ A(v) = A(u \circ v)$.

$$ \begin{aligned} A(u)_{v_x} &\spaces= \Big(u \cdot \frac{\partial A}{\partial u} + \frac{\d u}{\d x} \cdot \frac{\partial A}{\partial u'}\Big)\Big|_{v_x} \\ &\spaces= u(v_x) \cdot \frac{\partial A}{\partial u} + \frac{\d u(v_x)}{\d v_x} \frac{\d v_x}{\d x} \cdot \frac{\partial A}{\partial u'} \\ &\spaces= A(u(v(x)), u'(v(x))v'(x)) \\ \end{aligned} $$