Example. 二阶矩阵的逆 [automata-matrix-000A]

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

作为热身运动, 我们现在来恢复一个经典的事实, 即二阶矩阵的逆. 对于二阶可逆矩阵 $M$, 其逆 $M^{-1}$ 可以由它的四个分量 $a,b,c,d$ 经由 $M \to 1-M \to (1-M)^*$ 这样的过程得到, 这里 $1$ 当然是单位矩阵.

$$ \begin{aligned} M^{-1} &\spaces= (1-M)^* \\ &\spaces= \begin{pmatrix}1 - a & -b \\ -c & 1 - d\end{pmatrix}^* \\ &\spaces= \begin{pmatrix} (1 - a + b(1-d)^*c)^* & \quad \cdots \quad \\ \quad \cdots \quad & \quad \cdots \quad \end{pmatrix} \\ &\spaces= \frac{1}{a d - b c} \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix} \end{aligned} $$