Exegesis. [rayleigh-quotient-000A]

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

注意, $x^* M x$ 和 $x^*x = \|x\|$ 当然都是标准二次型. 特别的, 取 $x = \left( x_{1},\cdots,x_{n} \right)^{T}$, 则

$$ x^{\ast}Mx \spaces= \sum_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i}x_{i}^{2},\quad x^{\ast}x \spaces= \sum_{1 \leqslant i \leqslant n}x_{i}^{2} $$

Rayleigh 商定理正是在说

$$ \min\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i} \spaces\leqslant \frac{\sum_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i}x_{i}^{2}}{\sum_{1 \leqslant i \leqslant n}x_{i}^{2}} \spaces\leqslant \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i} $$