Exegesis. Fermat 提升法 [fermat-ascent]

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\Q{\mathbf{Q}}$

考虑一般的三次曲线 $\Gamma$. 已知一有理点时, 我们可以过此点做切线. 已知两有理点 $P, Q$ 时, 连接两点得到直线 $\ell$ 交曲线 $\Gamma$ 于另一点 $S$, 这个时候 $\ell$ 和 $\Gamma$ 的交点方程仍然是一个三次方程. 根与系数的关系给出

$$ x(P) \spaces + x(Q) \spaces + x(S) \spaces \in \Q $$

这使得 $x(S) \in \Q$. 我们也可以将这个想法直接应用到二次曲线上.