Exegesis. 双周期函数 [periodic-functions-2]

$\gdef\R{\mathbf{R}}$ $\gdef\Q{\mathbf{Q}}$ $\gdef\Z{\mathbf{Z}}$ $\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

我们要求两个 $\R$-周期 $T_1,T_2$ 是 $\R$-线性无关的, 否则周期之比 $\frac{T_1}{T_2} = \frac{p}{q} \in \Q$, $\gcd(p,q) = 1$, 这意味着 $T_i$ 生成的周期集合退化

$$ \begin{aligned} \{ nT_1 + mT_2 : n,m \in \Z \} &\spaces= \left\{ \left(\frac{np}{q} + m \right) T_2 : n,m \in \Z \right\} \\ &\spaces= \left\{ (np + mq) \cdot \frac{T_2}{q} : n,m \in \Z \right\} \end{aligned} $$

此时 $np + mq \in \Z$, 所以该集合被周期 $\frac{T_2}{q}$ 生成, 矛盾.