代数数可数 [CAN0][edit]

$\gdef\Q{\mathbf{Q}}$ $\gdef\N{\mathbf{N}}$ $\gdef\C{\mathbf{C}}$

代数数即 $\Q$ 系数首一多项式的根, 容易看出这也是任意整系数多项式方程的根. 1874 年, Cantor 在文章 “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” 中运用 多项式高度 的概念证明了实代数数的可数性.

Cantor 的思路很大程度上可以视为一种数论策略. 他首先想的是对多项式 $P$ 定义一个恰当的 [高度概念][height] $H(P) \in \N$, 使得一旦我们固定了正整数 $h$, 则只会存在有限个多项式 $P$ 满足 $H(P) = h$, 且任意多项式都能被某个高度覆盖. 即用高度分类全体多项式的同时又控制了多项式的复杂程度. 随后, 代数基本定理保证给定 $n$ 次多项式, 其根在 $\C$ 上至多只有 $n$ 个, 全体代数数便可以写为可数个有限集的并, 如此证得.

Definition. 多项式高度 [CNA1][edit]

    $\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\N{\mathbf{N}}$ $\gdef\Z{\mathbf{Z}}$

    对于任意一个 $\Z$-多项式 $P$, 其高度 $H(P)$ 限制了 $P$ 的次数和系数.

    $$ H(P) \spaces= \deg P - 1 + \sum_{0 \le i \le n} |a_i| $$

    Proof. [edit]

      Lemma. 固定高度的多项式只有有限个 [edit]

        $\gdef\N{\mathbf{N}}$ $\gdef\Z{\mathbf{Z}}$

        固定 $h \in \N$, 则集合 $P_h = \{ P \in \Z[x] : H(P) = h \}$ 有限. 为了证明这件事, 注意到此时多项式的次数最多是 $h$, 因为至少有一个非零整系数 $a_i$ 使得 $|a_i| \ge 1$. 另一方面, 每个 $a_i$ 也满足 $|a_i| \le h$, 因此一个多项式的所有信息都被正整数 $h$ 控制, 故 $P_h$ 有限.

        Lemma. 固定高度的多项式的根集有限 [edit]

          $\gdef\C{\mathbf{C}}$

          固定 $h \in \N$, 集合 $R_h = \{ z \in \C : P(z) = 0, P \in P_h \}$ 有限. 对 $P \in P_h$ 处每一个固定的 $P$ 使用代数基本定理, 便可得到此时的 $z$ 也只有有限多个.

          $\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\A{\mathbb{A}}$ $\gdef\N{\mathbf{N}}$

          根据代数数域 $\A$ 的定义之一, $\A = \bigcup_{h \in \N} R_h$ 所以 $|\A| = |\N|$, 故可数.