Exegesis. 历史背景 [AC2B][edit]

1883 年, Georg Cantor 提出了良序原理. 由于他所谓的法则并未立即得到接受, Cantor 发现自己不得不寻求证明. 为了提供这样的证明, 选择公理 $\textsf{AC}$ 在 1904 年由 Ernst Zermelo 首次明确表述出来.

References

Axiom. 选择公理 $\textsf{AC}$ [AC2C][edit]

对于任意非空集合族 $\mathscr{F}$, 存在一个选择函数 $f$ 为每个 $A \in \mathscr{F}$ 分配一个元素 $f(A) \in A$.

$f$ 可以被看作是从每个集合 $A \in \mathscr{F}$ 中选取一个元素. 然而, 选择公理 $\textsf{AC}$ 仅保证了此类函数的存在性, 而没有提供构造它的方法. 即选择公理 $\textsf{AC}$ 并未涉及一个人作出或构想这些选择的能力.

Stocking 拥有无限多双鞋和无限多双袜子. 一日, 她突发奇想, 让 Panty 从每双鞋中挑选并展示一只鞋. 当 Panty 询问如何决定选哪只鞋时, Stocking 告诉她: 从每双鞋中选左脚的那只. 翌日, Stocking 又在类似的情绪下, 让 Panty 从每双袜子中挑选并展示一只袜子. 这次, 当 Panty 问起该如何决定选哪只袜子时, Stocking 却陷入了茫然: 因为每双袜子中的两只完全无法区分, 所以无法像鞋子那样, 为无穷多双袜子中的每一双定义一个明确的选择方式.

Theorem. 良序原理 [AC2D][edit]

良序原理断言每一个集合都可以被良序.

称一个集合 $X$ 可以被良序化, 如果在 $X$ 上存在一个良序关系, 即 $X$ 上的一个二元关系 $\preceq$ 满足:


自反性	$\forall ~ x \in X, x \preceq x$
传递性	$\forall ~ x, y, z \in X, (x \preceq y) \land (y \preceq z) \implies x \preceq z$
反对称性	$\forall ~ x, y \in X, (x \preceq y) \land (y \preceq x) \implies x = y$
全序性	$\forall ~ x, y \in X, (x \preceq y) \lor (y \preceq x)$
良基性	$X$ 的每个非空子集都有一个 $\preceq$-极小元

$\N$ 上的标准序 $\leqslant_\N$ 是一个良序关系, 但 $\leqslant_\Z$ 不满足良基性, 因为 $\Z$ 没有极小元.