栈置换 (stack permutation) 也称作栈混洗 (stack shuffle). 给定一个非空栈 $A$ 和两个空栈 $B$ 与 $S$, 每次只允许 $(i)$ 弹出 $A$ 并压入 $S$. $(ii)$ 弹出 $S$ 并压入 $B$. 可以想见, 最终 $A$ 的元素一定会全部进入 $B$. 这样的 $B$ 就称为 $A$ 的一个栈置换.
不难发现, $A$ 的所有栈置换其实就是 $A$ 的所有出栈可能. 熟知 $n$ 元素栈共有 $\frac1{n+1}{2n \choose n}$ 种出栈情况. 另一方面, $n$ 个节点能构成 $\frac1{n+1}{2n \choose n}$ 种二叉树, 两者的计算都可以在 Catalan 数的相关条目中找到. 这表明两者作为集合同构, 一个可以考虑的问题是, 如何实现该同构? 即, 具体地写出这个双射. 这方面的 开创性工作 来自 R. F. Hille.
以下三条规则给出 Hille 编码到二叉树的转换过程. 同时不难验证, 任给一个二叉树, 可以通过这三条规则得到其 Hille 编码.
1 表示添加当前树节点的左子树. 例如 111 表示的树为 (⋅ (⋅ (⋅))).01 表示添加当前树节点的右子树. 例如 10101 表示的树为 (⋅ _ (⋅ _ (⋅))).- 而对于
01 前的 $k$ 个 0, 这些 0 用于表示将当前树节点回溯到前 $k$ 层. 例如 11001 表示的树为 (⋅ (⋅) (⋅)).
注意到每个树节点的双亲 (parent) 节点是唯一的, 因此回溯操作良定, 一次回溯就是将当前节点改为其双亲.
由于我们的讨论不涉及具体元素, 不失一般性, 可以固定栈置换的入栈顺序为 $123\cdots n$. 同时这些数字也是二叉树节点的标签. 影响出栈序列的只有压入和弹出两个操作, 而构建二叉树允许的操作粗看起来要多一些. 因此首先需要通过一些技巧将二叉树构建操作的表示简化. 我们将栈的压入和弹出分别编码为 1 和 0, 并将栈置换对应的二进制序列称为栈编码. 对应的, 以 Hille 编码 刻画二叉树的构建.
以下写出三节点二叉树的所有 $5$ 种情况, 以展示这些树的二进制序列如何对应到栈置换.
此处二进制序列按栈弹空为标准, 补充了末尾的零.
这个过程的反向实际上并不平凡, 如果只考虑 $n=3$ 也就是上图的情况, 敏锐的读者可以发现, 这些栈置换其实就是二叉树按节点添加顺序 编号后的中序遍历序列 . 我们接下来就要解释这到底不平凡在哪里. 首先是对原始文献的一个观察, Hille 原始文献 当中提出的算法实际上存在错误, 将之改写成 Lean4 语言, 即
只要考虑下面这个例子即可发现, 将一棵二叉树转化为它的 Hille 编码并非是简单的中序遍历.
可以验证, 从 110100100 这个编码出发, 无法直接恢复原本的
, 其正确的 Hille 编码应该为 1101000100. 同时我们也可以解释, 为何中序遍历在许多情况下能够得到正确的 Hille 编码.
首先容易验证的是, 中序遍历总是能够给出二叉树 $b \in B$ 到栈置换 $s \in S$ 的映射, 而对于每一个栈置换 $s \in S$, 都能够写出唯一的二进制序列, 即栈编码 $c \in C$. 不考虑末尾连续的 0, 当栈编码 $c$ 与二叉树 $b$ 的 Hille 编码 $h \in H$ 相同时, 对 $B$ 直接进行中序遍历便能得出正确的 Hille 编码.
$$
\begin{CD}
B @>>> S \\
@VVV @VVV \\
H @>>> C
\end{CD}
$$
记 $B \to H$ 为 $f$, 根据 Hille 编码 的定义, $f$ 是一个双射. 根据二叉树的性质, $g: B \to S$ 是中序遍历, 前文已经固定栈置换的入栈顺序为 $123\cdots n$, 这样一来就固定了 $B$ 的层序遍历, 因此 $g$ 也是双射. 现在来看 $h: S \to C$, 这显然也是一个双射. 最后, 我们能够从 $h \in H$ 当中恢复出 $c \in C$ 的信息, 只要将 $h$ 序列视为栈编码, 并且忽略空栈的弹出, 这就意味着 $H \to C$ 是满射, 随后利用 $C \to S \to B \to H$, 这样就得到了 $H \cong C$.
现在, Hille 原文所使用的 encode 算法就是 $h \circ g: B \to C$, 而预期的正确实现则是 $f$, 因此两者在结果上相差一个同构.
$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$
另一个可供探究的问题是 Hille 编码的有效长度 $L$, 这里有效长度指的是 Hille 编码去除末尾连续的 0 后所得的字符串长度.
固定二叉树的节点个数 $n$, 这 $\frac1{n+1}{2n \choose n}$ 棵树的有效长度最短当然是 $n$. 当 $n=0$ 时 $L=0$, 当 $1 \le n \le 3$ 时 $L \le 2n-1$, 而当 $3 \le n$ 时 $L \le 3n-4$, 即
$$
n \spaces\le L_n \spaces\le \max(0, 2n-1, 3n-4)
$$