Exegesis. Casus irreducibilis [casus-irreducibilis][edit]

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\Gal{\operatorname{Gal}}$ $\gdef\Q{\mathbf{Q}}$ $\gdef\R{\mathbf{R}}$

对于实三次方程 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$, 利用相应的 Tschirnhaus 变换 $x \mapsto y-\frac{a}{3}$ 可得缺项形式

$$ y^3 + py + q = 0, \quad p,q \in \R$$

其判别式为 $\Delta = -4p^3 - 27q^2$, 情况如下
$\Delta > 0$三个互异实根
$\Delta = 0$三个实根, 有重根
$\Delta < 0$一个实根, 两个共轭复根

Remark. 缺项形式验证 [#][edit]

    $$ \def\x{(y-\tfrac{a}{3})} \begin{aligned} \square &\spaces= \x^3 + a\x^2 + b\x + c \\ &\spaces= y^3 + \underline{(b-\tfrac{1}{3}a^2)}y + \underline{\tfrac{2}{27}a^3 - \tfrac{ab}{3} + c} \\ &\spaces= y^3 + py + q \end{aligned} $$

    Remark. 计算判别式 [#][edit]

      记全体根为 $r_i$, 结式 $\operatorname{res}(f,f')$ 即 Sylvester 矩阵的行列式. 判别式可按如下手续计算

      $$ \begin{aligned} \Delta &\spaces= \prod_{i < j} (r_i - r_j)^2 \\ &\spaces= (r_1-r_2)^2(r_1-r_3)^2(r_2-r_3)^2 \\ &\spaces= (-1)^{n(n-1)/2} \operatorname{res}(f,f') \\ &\spaces= - \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & p & q & 0 \\ 0 & 1 & 0 & p & q \\ 3 & 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & p \\ \end{pmatrix} \\ &\spaces= -(4p^3+27q^3) \end{aligned} $$

      Proposition. [#][edit]

        拉丁语 Casus irreducibilis 意为 “不可约情形”, 如今特指 $\Delta > 0$ 且多项式在 $\Q$ 上不可约的三次方程. 设 $f(x) \in \Q[x]$ 是一个 Casus irreducibilis. 则 $f(x)$ 的任意一个根不能表示为仅含实数和实根式的表达式.

        Proof. [#][edit]

          1. 记此多项式为 $f$, $f$ 的 分裂域 为 $K$, 其 Galois 群 $G = \Gal(K/\Q)$. $f$ 不可约导致 $G$ 是 $S_3$ 的一个传递子群. 这就意味着 $G$ 只能是 $S_3$ 或者 $A_3$.

          2. 注意除 $1$ 以外, 实数中不能开奇数次单位根. 故任何实根式扩张的 Galois 群必为可解群且阶为 $2$ 的幂次. 同时, 为了解 $x^3 = a$, 则 $K$ 必须包含三次单位根 $e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

          这就使得此时根的表达式必须包含复数.