Conjecture. Kontsevich 周期性猜想 [kontsevich-periodicity]

  • February 16, 2025
  • kokic

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\Mat{\operatorname{Mat}}$ $\gdef\Q{\mathbf{Q}}$

令 $(M_{ij})_{1 \le i,j \le 3}$ 是包含 $9$ 个非交换独立变量的矩阵. $I_1: M \to M^{-1}$ 是对矩阵求逆, $I_2: M_{ij} \to M_{ij}^{-1}$ 是对矩阵各分量求逆, $I_3: M \to M^T$ 是矩阵的转置. 则 Kontsevich 猜测, 存在两个 $3$ 阶对角矩阵 $L,R$ 使得

$$ (I_3 \circ I_2 \circ I_1)^3(M) \spaces= LMR $$

且这里 $I,R$ 的分量是以 $M$ 的 $9$ 个分量 $M_{ij}$ 为变量的非交换有理函数.

Kontsevich 周期性猜想 已由 Natalia Iyudu 和 Stanislav Shkarin 于 2013 年 5 月 8 日 证明, 因此这一猜想有时也被称作 Iyudu–Shkarin 定理. 不过这个证明过于暴力, 也没有对于一般的矩阵 $M \in \Mat_{n \times n}$ 回答 $n>3$ 时的 Kontsevich 周期性猜想

$$ (I_3 \circ I_2 \circ I_1)^n(M) \spaces= LMR $$

为何不成立 1.

Exegesis. $n=2$ 交换版本 [kontsevich-periodicity-000A]

  • February 18, 2025
  • kokic

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\Mat{\operatorname{Mat}}$

我们来观察对于交换环 $R$ 和对应的 $\Mat_{2\times 2}(R)$ 中的矩阵, $(I_3 \circ I_2 \circ I_1)^2$ 具体做了些什么. 令 $\varphi = I_3 \circ I_2 \circ I_1$, 则 $\varphi(M)$ 可以算出是

$$ \varphi: ~ M ~\leadsto~ \det M \cdot S I_2(M) S^T $$

其中 $S = (\begin{smallmatrix}0 & -1 \\ 1 & ~~~0\end{smallmatrix})$ 是一个行列式为 $1$ 的反对称矩阵 1, 记 $\tau: M \leadsto SI_2(M)S^T$, 可以验证 $\tau \circ \tau = \text{id}$. 现在我们来计算 $\varphi^2(M)$.

$$ \begin{aligned} \varphi^2(M) &\spaces= \varphi(\det M \cdot SI_2(M)S^T) \\ &\spaces= \det(\det M \cdot SI_2(M)S^T) \cdot S I_2(\det M \cdot SI_2(M)S^T) S^T \\ &\spaces= (\det M)^2 \det(SI_2(M)S^T) \cdot (\det M)^{-1}M \\ &\spaces= \det M \det(SI_2(M)S^T) \cdot M \\ &\spaces= \det M \det(I_2(M)) \cdot M \end{aligned} $$

也就是说 $\varphi^2(M)$ 实际上会是 $M$ 的常数倍, 并且这个常数是

$$ \det M \det(I_2(M)) \spaces= (ad-bc)\Big(\frac1{ad}-\frac1{bc}\Big) $$

1

当我们把 $S$ 看作线性映射 $A$ 的表示时, 在定义上 $A$ 就被称为反自伴算子.

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如果矩阵的分量是交换元, 则 $n=1,2$ 情况很容易 验证. Iyudu 和 Shkarin 在他们的 论文 中首先验证了 Kontsevich 周期性猜想 对于 $n=2$ 非交换的情况也正确, 随后才讨论 $n=3$ 的版本.