Exegesis. $n=2$ 交换版本 [kontsevich-periodicity-000A]

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\Mat{\operatorname{Mat}}$

我们来观察对于交换环 $R$ 和对应的 $\Mat_{2\times 2}(R)$ 中的矩阵, $(I_3 \circ I_2 \circ I_1)^2$ 具体做了些什么. 令 $\varphi = I_3 \circ I_2 \circ I_1$, 则 $\varphi(M)$ 可以算出是

$$ \varphi: ~ M ~\leadsto~ \det M \cdot S I_2(M) S^T $$

其中 $S = (\begin{smallmatrix}0 & -1 \\ 1 & ~~~0\end{smallmatrix})$ 是一个行列式为 $1$ 的反对称矩阵 ¹, 记 $\tau: M \leadsto SI_2(M)S^T$, 可以验证 $\tau \circ \tau = \text{id}$. 现在我们来计算 $\varphi^2(M)$.

$$ \begin{aligned} \varphi^2(M) &\spaces= \varphi(\det M \cdot SI_2(M)S^T) \\ &\spaces= \det(\det M \cdot SI_2(M)S^T) \cdot S I_2(\det M \cdot SI_2(M)S^T) S^T \\ &\spaces= (\det M)^2 \det(SI_2(M)S^T) \cdot (\det M)^{-1}M \\ &\spaces= \det M \det(SI_2(M)S^T) \cdot M \\ &\spaces= \det M \det(I_2(M)) \cdot M \end{aligned} $$

也就是说 $\varphi^2(M)$ 实际上会是 $M$ 的常数倍, 并且这个常数是

$$ \det M \det(I_2(M)) \spaces= (ad-bc)\Big(\frac1{ad}-\frac1{bc}\Big) $$