$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

注意, $x^* M x$ 和 $x^*x = \|x\|$ 当然都是标准二次型. 特别的, 取 $x = \left( x_{1},\cdots,x_{n} \right)^{T}$, 则

$$ x^{\ast}Mx \spaces= \sum_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i}x_{i}^{2},\quad x^{\ast}x \spaces= \sum_{1 \leqslant i \leqslant n}x_{i}^{2} $$

Rayleigh 商定理正是在说

$$ \min\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i} \spaces\leqslant \frac{\sum_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i}x_{i}^{2}}{\sum_{1 \leqslant i \leqslant n}x_{i}^{2}} \spaces\leqslant \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i} $$

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\quads#1{\quad #1 \quad}$ $\gdef\eqq{\quads=}$

考虑 $M = \scriptsize\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, 将 $M$ 对角化得到 $D = \scriptsize\begin{pmatrix} 3 & ~~~0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, 相应的正交矩阵是 $\frac1{\sqrt{2}}\scriptsize\begin{pmatrix} 1 & ~~~1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$. 注意, $(uP)^*M(uP) = u^{2}P^*MP$, 因此我们通过 $P^*MP$ 来计算 $Q^*MQ$ ¹:

$$ \frac12 \begin{pmatrix} 1 & ~~~1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^*\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & ~~~1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \spaces= \frac12 \begin{pmatrix} 6 & ~~~0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \spaces= \begin{pmatrix} 3 & ~~~0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

那么, 这就得到了 $M$ 的 Rayleigh 商的值域

$$ \frac{a^{2} + 4ab + b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \quads\to \frac{3a^{2} - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \quads\in \lbrack - 1,3\rbrack $$

下面讨论 $A = \scriptsize\begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}$ 的对角化问题. 依然取正交矩阵 $Q = \frac1{\sqrt2} \scriptsize\begin{pmatrix} 1 &~~~1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, 相应的 $Q^*AQ = \scriptsize\begin{pmatrix} p + q & 0 \\ 0 & p - q \end{pmatrix}$. 故

$$ \begin{aligned} \frac{pa^{2} + 2qab + pb^{2}}{a^{2} + b^{2}} \quads\to & \frac{(p + q)a^{2} + (p - q)b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \\ \quads\in & [p-q, p + q] \end{aligned} $$

最后, 对于对称矩阵 $\scriptsize\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ 也就是二次形 $ax^2 + 2bxy + cy^2$. 其对角化为

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \quads\mapsto \frac12 \begin{pmatrix} r - \sqrt{s} & 0 \\ 0 & r + \sqrt{s} \end{pmatrix} $$

这里 $r = a + c$, $s = (a-c)^2 + 4b^2$.

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

我们要求解问题可以叙述成下面的形式

$$ F \spaces= \frac{3a^2 + 4ab + 3b^2}{4a^2 + 12ab + 34b^2}, \quad \min_\R F, \quad \max_\R F $$

这里相应的 $A = \scriptsize\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \scriptsize\begin{pmatrix} 4 & ~~6 \\ 6 & 34 \end{pmatrix}$. 我们首先对 $B$ 进行 Cholesky 分解, 得到 $C = \scriptsize\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ 使得 $B = CC^*$. 接下来通过 $C^{-1} A C^*{}^{-1}$ 求出 $D$ 及其对角化 $E$, 这样就结束了此问题.

$$ \begin{aligned} D \spaces= \frac14 \begin{pmatrix} ~~~3 & -1 \\ -1 & ~~~\frac35 \end{pmatrix}, ~~ E \spaces= & \begin{pmatrix} 9-\sqrt{61} & 0 \\ 0 & 9+\sqrt{61} \end{pmatrix} \cdot \frac1{20} \\ \spaces= &\begin{pmatrix} \min_\R F & 0 \\ 0 & \max_\R F \end{pmatrix} \end{aligned} $$