Exegesis. Canterbury 物语 [canterbury]
Exegesis. Canterbury 物语 [canterbury]
$\gdef\quads#1{\quad #1 \quad}$ $\gdef\eqq{\quads=}$
$\textbf{Problem.}$ 有两个正方体, 一个边长为 $1$, 另一个边长为 $2$. 请找到另外两个边长为有理数的正方体使它们的体积总和相同. 换言之, 求下述方程的一组 (正) 有理解.
$$ x^3 + y^3 \eqq 9 \quad \color{gray}{(= \quad 1^3+2^3)} $$
$\textbf{Solution.}$ 我们先画出 $x^3 + y^3 = 9$. 然后由已知的 $P=(1,2)$ 出发做切线得到 $2P$, $4P$, $8P$. 这种几乎全凭借运气的操作是 Fermat 及 Viète 研究此类问题的方式.
如图, 随后注意到 $8P$ 恰好位于 $x > 0,y > 0$ 的区域, 现在写出其坐标.
$$ 8P \spaces= \left(\frac{1243617733990094836481}{609623835676137297449}, \frac{487267171714352336560}{609623835676137297449}\right) $$