$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

有两个正方体, 一个边长为 $1$, 另一个边长为 $2$. 请找到另外两个边长为有理数的正方体使它们的体积总和相同. 换言之, 求下述方程的一组 (正) 有理解.

$$ x^3 + y^3 \spaces= 9 \quad \color{gray}{(= ~ 1^3+2^3)} $$

Solution. 椭圆曲线的倍点 [edit]

我们先画出 $x^3 + y^3 = 9$. 然后由已知的 $P=(1,2)$ 出发做切线得到 $2P$, $4P$, $8P$. 这种几乎全凭借运气的操作是 Fermat 及 Viète 研究此类问题的方式.

如图, 随后注意到 $8P$ 恰好位于 $x > 0,y > 0$ 的区域, 现在计算其坐标.

$$ 8P \spaces= \left(\frac{1243617733990094836481}{609623835676137297449}, \frac{487267171714352336560}{609623835676137297449}\right) $$

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\quads#1{\quad #1 \quad}$ $\gdef\eqq{\quads=}$

对 $\Gamma: x^3+y^3=c$ 求导得 $3x^2 + 3y^2y^\prime = 0$, 故 $y^\prime = -\frac{x^2}{y^2}$. 任取 $\Gamma$ 上一个点 $P(x_\Box, y_\Box)$. 由此得到该点处的切线 $\ell_P: y - y_\Box = -\frac{x_\Box^2}{y_\Box^2}(x - x_\Box)$. 代入 $\Gamma$, 即

$$ x^3 + (y_\Box-\frac{x_\Box^2}{y_\Box^2}(x - x_\Box))^3 \spaces= x_\Box^3 + y_\Box^3 $$

注意这里有一个 $(\frac1{y_\Box^2})^3$, 我们将其提出其即可得到

$$ y_\Box^{-6}(x-x_\Box)^2(y_\Box^6x - x_\Box^6x + x_\Box^7 + 3x_\Box^4y_\Box^3+2x_\Box y_\Box^6) \spaces= 0 $$

随后解这个关于 $x,y$ 的方程. 注意这里 $(x-x_\Box)^2$ 当然来自于我们做的 $P$ 点切线, 也就是重根 $x_\Box$. $\Gamma$ 是一条三次曲线, 与直线的交点方程最多三个解, 因此最后一项关于 $x$ 是线性的, 故只需要解一个线性方程, 立刻得到

$$ 2P: (x_\Box, y_\Box) \quad \leadsto \quad \left(\frac{x_\Box(x_\Box^3 + 2y_\Box^3)}{x_\Box^3 - y_\Box^3}, \frac{y_\Box(y_\Box^3 + 2x_\Box^3)}{y_\Box^3 - x_\Box^3}\right) $$

反复利用映射 $2P$ 即可得到 前文 的 $8P$. 当然, 这也给出如下经典的恒等式. 最早亦可追溯到 Viète 和 Bacht.

$$ x^3 + y^3 \eqq \left(\frac{x(x^3 + 2y^3)}{x^3 - y^3}\right)^3 + \left(\frac{y(y^3 + 2x^3)}{y^3 - x^3}\right)^3 $$

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$ $\gdef\Q{\mathbf{Q}}$

考虑一般的三次曲线 $\Gamma$. 已知一有理点时, 我们可以过此点做切线. 已知两有理点 $P, Q$ 时, 连接两点得到直线 $\ell$ 交曲线 $\Gamma$ 于另一点 $S$, 这个时候 $\ell$ 和 $\Gamma$ 的交点方程仍然是一个三次方程. 根与系数的关系给出

$$ x(P) \spaces + x(Q) \spaces + x(S) \spaces \in \Q $$

这使得 $x(S) \in \Q$. 我们也可以将这个想法直接应用到二次曲线上.