何谓选择公理 [AC2A][edit]

整理自 A Gentle Introduction to the Axiom of Choice.

1883 年, Georg Cantor 提出了 良序原理. 由于他所谓的 法则 并未立即得到接受, Cantor 发现自己不得不寻求证明. 为了提供这样的证明, 选择公理 $\textsf{AC}$ 在 1904 年由 Ernst Zermelo 首次明确表述出来.

Axiom 1. 选择公理 $\textsf{AC}$ [AC2C][edit]

    对于任意非空集合族 $\mathscr{F}$, 存在一个选择函数 $f$ 为每个 $A \in \mathscr{F}$ 分配一个元素 $f(A) \in A$.

    对任意非空集族 $(X_i)_{i \in I}$, 其 Descartes 积 $\prod_{i \in I} X_i$ 非空.

    $f$ 可以被看作是从每个集合 $A \in \mathscr{F}$ 中选取一个元素. 然而, 选择公理 $\textsf{AC}$ 仅保证了此类函数的存在性, 而没有提供构造它的方法. 即 选择公理 $\textsf{AC}$ 并未涉及一个人作出或构想这些选择的能力.

    本例来自 “Bertrand Russell. Introduction to Mathematical Philosophy. George Allen and Unwin, 1919”, 略有修改.

    Stocking 拥有无限多双鞋和无限多双袜子. 一日, 她突发奇想, 让 Panty 从每双鞋中挑选并展示一只鞋. 当 Panty 询问如何决定选哪只鞋时, Stocking 告诉她: 从每双鞋中选左脚的那只. 翌日, Stocking 又在类似的情绪下, 让 Panty 从每双袜子中挑选并展示一只袜子. 这次, 当 Panty 问起该如何决定选哪只袜子时, Stocking 却陷入了茫然: 因为每双袜子中的两只完全无法区分, 所以无法像鞋子那样, 为无穷多双袜子中的每一双定义一个明确的选择方式.

    人们不相信 选择公理 $\textsf{AC}$ 的原因, 常常是其看似矛盾的后果, 如果真存在典范的 “灾难性” 后果, 其中一例当属 Banach–Tarski 悖论. 粗略地说, 该悖论指出一个三维闭球 $B$ 可以被分解为有限多个部分, 这些部分可以通过仅使用刚体变换重新组合成两个互不相交的 $B$ 的副本.

    Paradox. Banach–Tarski 悖论 [AC2E][edit]

      假设 选择公理 $\textsf{AC}$, 对于一个三维闭球 $B$ 存在一种分解 $B = B_1 \sqcup B_2$ 使得 $B_1 \approx B \approx B_2$. 此处, 我们称 $B \approx C$, 如果存在有限划分 $B = P_1 \sqcup \cdots \sqcup P_n$, $C = Q_1 \sqcup \cdots \sqcup Q_n$, 使得对每个 $1 \le i \le n$, $P_i$ 与 $Q_i$ 全等.

      尽管看似违反直觉, 这种所谓的悖论并非逻辑矛盾, 而仅仅是一种数学上的不便. 例如, Banach–Tarski 悖论 (因此也包括 选择公理 $\textsf{AC}$) 会推出另一个数学上不太方便的结果.

      存在 $\R^n$ 的子集不是 Lebesgue 可测的. 更具体地说, 作为 Banach–Tarski 悖论 的推论, 不存在定义在 $\R^3$ 的所有子集上的、在刚性变换下不变的有限可加测度.