Paradox. Banach–Tarski 悖论 [AC2E][edit]

假设 选择公理 $\textsf{AC}$, 对于一个三维闭球 $B$ 存在一种分解 $B = B_1 \sqcup B_2$ 使得 $B_1 \approx B \approx B_2$. 此处, 我们称 $B \approx C$, 如果存在有限划分 $B = P_1 \sqcup \cdots \sqcup P_n$, $C = Q_1 \sqcup \cdots \sqcup Q_n$, 使得对每个 $1 \le i \le n$, $P_i$ 与 $Q_i$ 全等.