整理自 A Gentle Introduction to the Axiom of Choice.
1883 年, Georg Cantor 提出了 良序原理. 由于他所谓的 法则 并未立即得到接受, Cantor 发现自己不得不寻求证明. 为了提供这样的证明, 选择公理 $\textsf{AC}$ 在 1904 年由 Ernst Zermelo 首次明确表述出来.
对于任意非空集合族 $\mathscr{F}$, 存在一个选择函数 $f$ 为每个 $A \in \mathscr{F}$ 分配一个元素 $f(A) \in A$.
$f$ 可以被看作是从每个集合 $A \in \mathscr{F}$ 中选取一个元素.
然而, 选择公理 $\textsf{AC}$ 仅保证了此类函数的存在性, 而没有提供构造它的方法.
即 选择公理 $\textsf{AC}$ 并未涉及一个人作出或构想这些选择的能力.
Stocking 拥有无限多双鞋和无限多双袜子.
一日, 她突发奇想, 让 Panty 从每双鞋中挑选并展示一只鞋.
当 Panty 询问如何决定选哪只鞋时, Stocking 告诉她: 从每双鞋中选左脚的那只.
翌日, Stocking 又在类似的情绪下, 让 Panty 从每双袜子中挑选并展示一只袜子.
这次, 当 Panty 问起该如何决定选哪只袜子时, Stocking 却陷入了茫然:
因为每双袜子中的两只完全无法区分, 所以无法像鞋子那样, 为无穷多双袜子中的每一双定义一个明确的选择方式.