$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$
共轭指数 $p,q \in \R_{> 0}$ 满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, 则
$$
\Big(\sum_{k=1}^na_k^p\Big)^{\frac{1}{p}} \Big(\sum_{k=1}^nb_k^q\Big)^{\frac{1}{q}} \spaces\ge \sum_{k=1}^na_kb_k
$$
当 $p=q=2$ 时, 此即为 Cauchy 不等式. 类似 Cauchy 不等式 和 Titu 引理 的关系, Hölder 不等式 满足 次可加归纳 的形式称为 Radon 不等式. 用完全相同的证明方法可以得到多组变量的推广
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\prod_{j=1}^m \Big(\sum_{k=1}^n a_{jk}^{w_j} \Big)^{\frac{1}{w_j}} \spaces\ge \sum_{k=1}^n \prod_{j=1}^m a_{jk}
$$
这里 $\sum_j w_j = 1$.