Exegesis. Cauchy–Aczél 论证 [CN2A]

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

Cauchy–Aczél 论证 是 次可加归纳 的一个直接应用. 凭此能够同时证明 Cauchy 不等式、Titu 引理、Aczél 不等式 和 Aczél 不等式 Engel 形式. 具体步骤如下.

在 次可加归纳 中取 $f(x, \ell) = \frac{x^2}{\ell}$, 于是 Titu 引理 $\iff$ Aczél 不等式 Engel 形式, 又因为 Cauchy 不等式 等价于 Titu 引理, Aczél 不等式 等价于 Aczél 不等式 Engel 形式. 于是只需证明 Cauchy 不等式 中 $n=2$ 的情况, 现在做差

$$ (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1b_1 + a_2b_2)^2 \spaces= (a_1b_2 - a_2b_1)^2 $$

右侧非负, 从而证毕. 读者也应留意到, 尝试直接说明 Cauchy 不等式 和 Aczél 不等式 等价往往不容易看出, 而沿着下面的路径就要轻松的多.

$$ \begin{CD} \text{Cauchy} @>s>> \text{Titu} \\ @. @VV\text{次线性归纳}V \\ \text{Aczél} @<<s^{-1}< X_1 \end{CD} $$

此处 $X_1$ 即 Aczél 不等式 Engel 形式, $s$ 为 $(a_k, b_k) \mapsto (\frac{x_k}{\sqrt\ell_k},\sqrt\ell_k)$.