Theorem. Aczél 不等式 [CN2D]

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

设 $\{a_i\}_{1\le i \le n}$ 满足 $a_1^2 \ge a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2$, $\{b_i\}_{1 \le i \le n}$ 满足 $b_1^2 \ge b_2^2 + b_3^2 + \cdots + b_n^2$ 则

$$ \Big(a_1b_1 - \sum_{k=2}^na_kb_k\Big)^2 \spaces\ge \Big(a_1^2 - \sum_{k=2}^na_k^2\Big) \Big(b_1^2 - \sum_{k=2}^nb_k^2\Big) $$

由于 Cauchy–Aczél 论证, Aczél 不等式 实际上是 Cauchy 不等式 的另一种表达形式.