Exegesis. Hölder–Popoviciu 论证 [HP2E]

$\gdef\spaces#1{~ #1 ~}$

类似 Cauchy–Aczél 论证, 也可以将 次可加归纳 应用于 Hölder 不等式 和 Aczél–Popoviciu 不等式.

在 次可加归纳 中取 $f(x, \ell) = \frac{x^p}{\ell^{p-1}}$, 此时 $\eta_*: \sum_i x_i^p / \ell_i^{p-1} \ge (\sum_i x_i)^p / (\sum_i \ell_i)^{p-1}$ 即 Radon 不等式, $\varphi_*: (x - \sum_i x_i)^p / (\ell - \sum_i \ell_i)^{p-1} \ge x^p / \ell^{p-1} - \sum_i x_i^p / \ell_i^{p-1}$ 即 Aczél–Popoviciu 不等式 Engel 形式. 沿下图

$$ \begin{CD} \text{Hölder} @>s>> \text{Radon} \\ @. @VV\text{次线性归纳}V \\ A_2 @<<s^{-1}< X_2 \end{CD} $$

此处 $A_2$ 为 Aczél–Popoviciu 不等式, $X_2$ 为 Aczél–Popoviciu 不等式 Engel 形式, $s$ 为 $(a_k, b_k) \mapsto (\frac{x_k}{\sqrt[q]\ell_k}, \sqrt[q]\ell_k)$. 证明这四个命题等价于证明 命题 $\eta$, 即

$$ (a_1^p + a_2^p)^{\frac{1}{p}}(b_1^q + b_2^q)^{\frac{1}{q}} \spaces\ge a_1b_1+a_2b_2 $$

以下证明是标准的, 可见于任何一本泛函分析课本. 记

$$ x_i = a_i /(a_1^p + a_2^p)^{\frac{1}{p}}, \quad y_i = b_i / (b_1^q + b_2^q)^{\frac{1}{q}}$$

则 $x_1^p + x_2^p = 1, y_1^q + y_2^q = 1$. 欲证明 $x_1y_1 + x_2y_2 \le 1$, 只要对 $(x_i, y_i)$ 使用 Young 不等式, 如此

$$ x_1y_1 + x_2y_2 \spaces\le \frac{x_1^p}{p} + \frac{y_1^q}{q} + \frac{x_2^p}{p} + \frac{y_2^q}{q} $$

由加法交换律和 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, 右侧当然 $=1$.